当CG=根号2-1时,BH垂直平分DE,
证明：连接BD,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=BC=1,
∴BD=根号下AB^2+AD^2 =根号2,
∵CG=根号2 -1,
∴BE=BC+CE=根号2,
∴BD=BE,
∵BH⊥DE,
∴DH=EH,
∴BH垂直平分DE,
∴当CG=根号2 -1时,BH垂直平分DE．
当CG=根号2-1时,BH垂直平分DE,
证明：连接BD,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=BC=1,
∴BD=根号下AB^2+AD^2 =根号2,
∵CG=根号2 -1,
∴BE=BC+CE=根号2,
∴BD=BE,
∵BH⊥DE,
∴DH=EH,
∴BH垂直平分DE,
∴当CG=根号2 -1时,BH垂直平分DE．