Question

（2013•湛江二模）如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥

Answer 1

解题思路：（1）因为P是棱BB₁的中点，可想到取AB₁的中点M，由三角形中位线知识证明四边形PCEM是平行四边形，由此可得

PC∥EM，然后利用线面平行的判定即可得到结论；

（2）题目给出了三棱锥A₁-AB₁E的体积是6，借助于等积法可求AB的长度；

（3）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．

（1）证明：取AB₁的中点M，连结PM，ME．

则PM∥BA∥CE，PM＝

1

2AB＝CE．

即四边形PCEM是平行四边形，所以PC∥EM．

又EM⊂平面AEB₁，PC⊄平面AEB₁．

∴CP∥平面AEB₁；

（2）由题意VA1−AB1E＝VE−AB1A1．

点E到平面AB₁A₁的距离是AD=3，S△AB1A1＝

1

2•AB•AA1＝

1

2AB•2＝AB．

所以

1

3•3•AB＝6，即AB=6；

（3）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A（0，0，0），B₁（6，0，2），E（3，3，0），

AB1＝(6，0，2)，

AE＝(3，3，0)．

设平面AB₁E的法向量为

n＝(x，y，z)．

由

n•

点评：

本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查了线面平行的判定，关键是寻求定理成立的条件，常借助于三角形的中位线处理．训练了等积法求点到面的距离或线段的长度，考查了利用平面法向量求二面角的余弦值，是中档题．