解题思路：（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以四边形BCFE是菱形；
（2）∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为6，求出菱形的高面积就可求；
（3）由菱形的面积=[1/2]EC•BF列出函数关系式，利用配方法求得二次函数最值即可．
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC=2DE，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为6，高为3
3，
∴菱形的面积为6×3
3=18
3；
（3）设菱形BCFE面积为S，则
S=[1/2]EC•BF=[1/2]（9-m）（m-1）=-[1/2]（m-5）2+8．
∵该抛物线的开口方向向下，且1＜m＜9，
∴当m=5时，该抛物线的最大值是8．
答：菱形BCFE面积的最大值是8．
点评：
本题考点： 菱形的判定与性质；二次函数的最值．
考点点评： 本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．