Question

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为（　　）

Answer 1

解题思路：由已知列式求出等差数列的首项和公差，求出前n项和，代入nS_n后利用导数求最小值．

设数列{a_n}的首项为a₁，公差为dd，则S₁₀=10a1+

10×9

2d＝10a1+45d＝0，①

SS15＝15a1+

15×14

2d＝15a1+105d＝25．②

联立①②，得a1＝−3，d＝

2

3，

∴Sn＝−3n+

n(n−1)

2×

2

3＝

1

3n2−

10

3n．

令f（n）=nS_nnSn，则f(n)＝

1

3n3−

10

3n2，f′(n)＝n2−

20

3n．

令f′（n）=0，得nn=0或n＝

20

3．

当n＞

20

3时，f′（n）＞0，0＜n＜[20/3]时，f′（n）＜0，

∴当n＝

20

3时，f（n）取最小值，而nn∈N^*，又ff（6）=-48，ff（7）=-49，

∴当nn=7时，ff（nn）取最小值-49．

故选：C．

点评：

本题考点： 等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查了等差数列的前n项和，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．