解题思路:首先把分数
1
2
×(
1
2
+
2
2
)×(
1
2
+
2
2
+
3
2
)×…×(
1
2
+
2
2
+…+
100
2
)
100!
化简,然后分别找出分母、分子中因数2、3的个数,进而求出化成最简分数后的分母即可.
根据题意,可得12=
1×2×3
6,12+22=
2×3×5
6,12+22+32=
3×4×7
6,…12+22+…+n2=
n×(n+1)×(2n+1)
6,
所以
12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)
100!
=[1×2×3/6×
2×3×5
6×
3×4×7
6]×…×
n×(n+1)×(2n+1)
6×[1/100!]
=
(1×2×…100)×(2×3×…×101)×(3×5×…×201)
6100•100!
=
(2×3×…×101)×(3×5×…×201)
6100
=
(2×4×6×…×100)×(3×5×…×101)×(3×5×…×201)
6100
分子中2×4×6×…×100含有97个因数2,22个因数3,
分子中3×5×7×…×101含有26个因数3,
分子中3×5×7×…×201含有50个因数3,
所以分子中一共含有97个因数2,98个因数3,分母中一共含有100个因数2,100个因数3,
因此分子、分母约分后分母还有3个因数2,2个因数3,
由2×2×2×3×3=72,
可得分数
12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)
100!化成最简分数后的分母是72.
点评:
本题考点: 繁分数的化简.
考点点评: 此题主要考查了繁分数的化简的应用,解答此题的关键是求出分母、分子中因数2、3的个数.