.如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A和点C关于DE所在的直线对称

3个回答

  • (1)由题意知∠CAO=30°,∴∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°.

    ∴在Rt△COE中,OE=OC·tan∠OCE=×=1.

    ∴点E的坐标是(1,0).

    设直线CE的解析式为y=kx+b.

    把点C(0,),E(1,0)代入得

    ∴直线CE的解析式为y=-x+

    (2)在Rt△AOC中,

    .

    ∵CD=OC=,

    ∴AD=AC-CD=2-=.

    过点D作DF⊥OA于点F.

    在Rt△AFD中,DF=AD·sin∠CAO=,

    AF=AD·cos∠CAO=,

    ∴OF=AO-AF=.

    ∴点D的坐标是(,)

    (3)存在两个符合条件的M点.

    第一种情况:此点在第四象限内,设为M1,延长DF交直线CE于M1,连结M1O,

    则有DM1‖y轴.

    ∵OF=,∴设点M1的坐标为(,y1).

    又∵点M1在直线CE上,∴将点M1的坐标代入y=-x+中,

    得,即.

    ∴点的坐标是(,-).

    又∵,

    ∴DM1=OC.又∵DM1‖OC,

    ∴四边形CDM1O为平行四边形.又∵点O在y轴上,

    ∴点M1是符合条件的点.

    第二种情况:此点在第二象限内,设为M2.

    过点D作DN‖CE交y轴于N,

    过N点作NM2‖CD交直线CE于点M2,

    则四边形M2NDC为平行四边形.

    ∴M2N=CD=.

    ∵M2N‖CD,DN‖CE,

    ∴∠NM2C=∠ACE=∠OCE=∠M2CN.

    ∴CN=M2N.∵M2N=CD=,

    ∴CN=.

    作M2H⊥y轴于点H.

    ∵M2N‖CD,∴∠M2NC=∠NCD.

    ∴∠M2NH=∠OCA=60°.

    在Rt△M2NH中,

    ,

    .

    ∴HO=HN+CN+OC=.

    ∴.

    ∴点M2是符合条件的点.

    综上所述,符合条件的两个点的坐标分别为