Question

设x属于(0,1),证明(1+x)(In(1+x))^2

Answer 1

ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+.

则ln(1+x)/x=1-x/2+(x^2)/3-(x^3)/4+(x^4)/5-.

(1+x)ln(1+x)/x=1+x/2-(x^2)/6+(x^3)/12-(x^4)/20+(x^5)/30-.

相乘得(1+x)(ln(1+x)/x)^2=1-(x^2)/12+(x^3)/12-(13/180)(x^4)+(11/180)(x^5)-.

可以看出当x属于(0,1)时,上式小于1,则证明了(1+x)(In(1+x))^2