Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点F1,F2,A椭圆上动点,弦AB,AC分别过F1,F2,当AC垂

Answer 1

（Ⅰ）设|AF2|=m,则|AF2|=3m.

由题设及椭圆定义得,

(3m)^2-m^2=(2c)^2

3m+m=2a

消去m得：a^2=2c^2

所以离心率e=根号2/2

(Ⅱ) 由(1)知,b^2=c^2=a^2/2

所以椭圆方为 :

x^2+2y^2=2c^2

设 A(x0,y0) B(x1,y1) C(x2,y2)

则 x0^2+2y0^2=a^2

A为椭圆上异于长轴端点的任意一点,

则由已知条件得,

m=-y0/y1

n=-y0/y2

所以m+n=-y0*(1/y1+1/y2)

又直线AF1的方程为

x+c=(x0+c/y0)*y

又因为x0^2+2y0^2=a^2

联立得：

[2y0^2+x0+c]y^2-2cy0*(x0+c)y-c^2y0^2

(3c+2x0)y^2-2y0*(x0+c)y-cy0^2=0

∴.由韦达定理得y0y1=-cy0^2/3c+2x0

,所以.y1=-c*y0/3c+2x0

同理 y2=cy0/-3c+2x0

∴.m+n=-y0*(1/y1+1/y2)=6

综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6.