Question

设P∈R，证明：（1）当p＞1时，级数∞n＝1|∫n+1nsinπxxp+1dx|收敛；（2）当0＜p≤1时，级数∞n＝

Answer 1

解题思路：（1）利用比较判别法进行判断；（2）利用莱布尼兹判别法进行判断．

（1）因为|

∫n+1n

sinπx

xp+1dx|≤

∫n+1n

1

xpdx，

又因为当p＞1时，级数

∞

n＝1

∫n+1n

1

xpdx=

∫+∞1

1

xpdx=[1/p−1]收敛，

所以由比较判别法可得，

当p＞1时，级数

∞

n＝1|

∫n+1n

sinπx

xp+1dx|收敛．

（2）首先，由正弦函数sinx的性质可得，

级数

∞

n＝1

∫n+1n

sinπx

xp+1dx为交错型级数．

因为|

∫n+1n

sinπx

xp+1dx|=(−1)n

∫n+1n

sinπx

xp+1dx≤

(−1)n

xp+1

∫n+1nsinπx=

(−1)n−1

xp+1

∫n

点评：

本题考点： 级数收敛的必要条件．

考点点评： 本题主要考查了利用比较判别法判断正项级数敛散性的方法以及利用莱布尼兹判别法判断交错型级数敛散性的方法，难度系数适中．