已知函数f(x)=2ax 2 +4x-3-a,a∈R.

1个回答

  • (Ⅰ)当a=1时,则f(x)=2x 2+4x-4=2(x 2+2x)-4=2(x+1) 2-6.

    因为x∈[-1,1],所以x=1时,f(x)的最大值f(1)=2.…(3分)

    (Ⅱ)(1)当a=0时,f(x)=4x-3,显然在区间[-1,1]上有零点,所以a=0时,命题成立.…(4分)

    (2)当a≠0时,令△=16+8a(3+a)=8(a+1)(a+2)=0,解得a=-1,a=-2.…(5分)

    ①当a=-1时,f(x)=-2x 2+4x-2=-2(x-1) 2,f(x)的零点为 x=1,满足条件.

    ②当 a=-2时, f(x)=-4 x 2 +4x-1=-4(x-

    1

    2 ) 2 ,求得函数的零点 x=

    1

    2 ,满足条件.

    所以当 a=0,-1,-2时,y=f(x)均恰有一个零点在区间[-1,1]上.…(7分)

    ③当f(-1)•f(1)=(a-7)(a+1)≤0,即-1≤a≤7时,

    y=f(x)在区间[-1,1]上必有零点.…(8分)

    ④若y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,则

    a>0

    △=8(a+1)(a+2)>0

    -1<-

    1

    a <1

    f(-1)≥0

    f(1)≥0 ,

    a<0

    △=8(a+1)(a+2)>0

    -1<-

    1

    a <1

    f(-1)≤0

    f(1)≤0. .…(12分)

    解得a≥7或a<-2.

    综上所述,函数f(x)在区间[-1,1]上存在极值点,实数a的取值范围是{a|a≥-1,或a≤-2},

    故答案为 {a|a≥-1,或a≤-2}.…(13分)