Question

两道存在性命题① 证明有无数组正整数x.y.z.t,满足x2+y3+z5=t7② 证明有无数对正整数m.n,满足m和n的

Answer 1

第一题,

证明：x2+y3+z5=t7 ,取x=3,y=1,z=1,t=2,

3*2+1*3+1*5=2*7 ,等式成立,

设m为任意正整数,当x=3*m,y=1*m,z=z*m,t=2*m时,有

3*m*2+1*m*3+1*m*5=2*m*7成立,由于m有无数种取值,故

x=3*m,y=1*m,z=z*m,t=2*m有无数种取值,只要满足：

x:y:z:t=3：1：1：2,且各为正整数则等式成立,得证.

第二题,

证明：设a1,a2,…,ai,b1,b2,…,bi为2i个不同素数,

j,k为非素数的正整数,且j不等于k,

取m=a1*a2*…*ai *j;

n=b1*b2*…*bi *k;

则m,n的不同素因子数均为i,而j,k有无限种取值,

故有无限组正整数m,n满足不同素因子数均为i,得证