Question

已知关于x的方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和

Answer 1

解题思路：首先将方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，通过拆分项、完全平方式、式子相乘法因式分解转化为（x²+x+2）（x²+x+k）=0

．再通过配方法确定x²+x+2≠0，因而只能是x²+x+k=0，根据一元一次方程根与系数的关系，k=-2，从而解得两实数根．

最后求两实数根的平方和，即是结果．

∵x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，

⇒（x⁴+2x³+x²）+[（2+k）x²+（2+k）x]+2k=0，

⇒x²（x²+2x+1）+（2+k）（x²+x）+2k=0，

⇒x²（x+1）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，

⇒（x²+x）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，

⇒（x²+x+2）（x²+x+k）=0，

∵x²+x+2=（x+[1/2]）²+[7/4]≠0，

∴只能是x²+x+k=0，

∵方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0所有实根的乘积为-2，

∴k=-2，即原方程实根的解等价于x²+x-2=0，

∴两实根是-2、1，

所有实根的平方和=（-2）²+1²=5．

故答案为：5．

点评：

本题考点： 高次方程；解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 解决本题的关键是将高次方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0通过拆分项、完全平方式、因式分解转化成（x2+x+2）（x2+x+k）=0这一形式，且在因式分解中将整式x2+x看做一个整体．