Question

（2013•黄梅县模拟）已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）n=1时，两个数列均为公差为m的等差数列，直接由等差数列的通项公式得答案；

（Ⅱ）由x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，得b_n=kb_n-1+m，两边同时除以b_n-1，由商为常数求得m的值；

（Ⅲ）k＜0，函数f（x）=kx+m为减函数，由x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，得b_n=ka_n-1+m，a_n=kb_n-1+m，两式作差后分k=-1和k≠-1分类求解（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）的值．

（Ⅰ）k=1时函数ƒ（x）=kx+m为增函数，∴a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m，

则a_n-a_n-1=m，b_n-b_n-1=m，

数列{a_n}，{b_n}均为以m为公差的等差数列．

∴a_n=a₁+（n-1）m=（n-1）m，b_n=b₁+（n-1）m=（n-1）m+1；

（Ⅱ）∵x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，∴b_n=kb_n-1+m，

∴

bn

bn−1=k+[m

bn−1，要使k+

m

bn−1为常数，则必有m=0，

故当m=0时，{b_n}是公比为k的等比数列；

（Ⅲ）b_n=ka_n-1+m①

a_n=kb_n-1+m②

①-②得b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）

若k=-1，则b_n-a_n=b_n-1-a_n-1=…=b₁-a₁=1

可得T_n-S_n=n

（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）=1+2+…+2012=2025078；

若k≠-1，则b_n-a_n=（-k）^n-1

T_n-S_n=

1−(−k)n/1+k＝

1

1+k−

(−k)n

1+k]，

∴（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）

=

2012

1+k−(

−k

1+k+

(−k)2

1+k+…+

(−k)2012

1+k)

=

2012

1+k−

k2013−k

(1+k)2．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的综合，考查了数列的函数特性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了等比数列的求和方法，是中档题．