Question

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点

Answer 1

解题思路：（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程；（2）设出PC，PD的方程，代入抛物线方程，求出C，D的纵坐标，表示出直线CD的斜率，即可得出结论．

（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．

所以动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，

所以其方程为y²=2x；

（2）由题意，设PC：x=my+b，代入（x₀，y₀），可得b=x₀-my₀，所以x=my+x₀-my₀，代入y²=2x，可得y²=2（my+x₀-my₀），即y²-2my-2x₀+2my₀=0，

∴y₀+y₁=2m，∴y₁=2m-y₀，

同理，设PD：x=-my+n，代入（x₀，y₀），可得n=x₀+my₀，所以x=-my+x₀+my₀，代入y²=2x，可得y²=2（-my+x₀+my₀），即y²+2my-2x₀-2my₀=0，

∴y₀+y₂=2m，∴y₂=-2m-y₀，

又k_CD=

y2−y1

x2−x1=

2

y1+y2=

2

2m−y0−2m−y0=-

1

y0，∴直线CD的斜率是定值．

点评：

本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程；直线的斜率．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系，考查学生的计算能力，正确设出直线的方程是关键．