已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 X+√3Y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的

2个回答

  • 设长轴为a,则短轴b 满足: a^2 + b^2 = 2^2,b^2= a^2 - 4

    设a^2 = T

    则椭圆方程是: x^2/T + y^2/(T - 4) = 1

    由于椭圆与 x + √3y + 4 = 0 有一个交点,所以 方程组联立只有一组解(x,y).

    x + √3y + 4 = 0

    x = -(√3y + 4) 代入椭圆方程:

    (√3y + 4)^2/T + y^2/(T - 4) = 1

    (3y^2 + 8√3y + 16) * (T - 4) + y^2 T = T (T -4)

    y^2 (3*(T - 4) + T ) + y 8√3(T - 4) + (16-T) (T - 4 ) = 0

    y^2 (4T - 12) + y 8√3(T - 4) + (16 - T) (T - 4) = 0

    判别式="b^2 - 4ac" =0 (是一元二次方程判别式,abc不是题目中含义)

    所以:

    64 * 3 (T - 4)^2 - 4 (4T - 12) * (16 -T) (T -4) = 0

    4 * 3 (T -4)^2 - (T - 3) * 15 * (T - 4) = 0

    显然 T - 4 = 0 是一个解(T=4)

    如果 T - 4 ≠ 0,则:

    12 ( T - 4) - (16 - T) ( T -3) = 0

    12T - 48 + (T - 16 ) (T -3) = 0

    12T - 48 + T^2 - 19T + 48 = 0

    T^2 - 7T = 0

    T=0 或 T=7

    由于 T = 4, a=2,b=0,舍弃;

    由于 T = 0, a=0 舍弃

    所以 :T=7 , a=√7

    (推导两遍,在屏幕上推导真不方便,书写太累了,还爱错!第一次推出无解,检查了一遍,ok了!)

    (完)