Question

设a是实数，f(x)＝a−21+2x(x∈R)

Answer 1

解题思路：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，代入数据解关于a的方程可得；

（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，作差可判f（x₁）＜f（x₂），由单调性的定义可得．

（1）由题意可得x∈R，函数为奇函数必有f（0）=0

代入数据可得a−

2

1+20=0，解得a=1

（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，

作差可得f(x1)−f(x2)＝(a−

2

2x1+1)−(a−

2

2x2+1)

=

2

2x2+1−

2

2x1+1＝

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)，

由于指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，

∴2x1＜2x2，

即2x1−2x2＜0，

又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，

即f（x₁）＜f（x₂），

∴对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及定义法证明函数的单调性，属基础题．