Question

复变函数 设f(z)=exp(1/z^m)/(tanz)^n,其中m,n均为正整数,证明lim(f)不存在(z趋近于0)

Answer 1

考虑序列a_k=k^(-1/m) (取实根),有k趋于无穷时a_k趋于0且1/(a_k)^m=k,而tan(a_k)趋于0.

f(a_k)的分子e^k趋于无穷而分母趋于0,f(a_k)趋于无穷.

证明极限不存在这样就够了.

实际上0还是f(z)的本性奇点,要说明这一点还需要再取一个序列.

设c为x^m=-1的一个根.

考虑序列b_k=c*k^(-1/m),有k趋于无穷时b_k趋于0且1/(b_k)^m=-k.

而由z趋于0时,tan(z)与z是等价无穷小.

lim f(b_k)=lim e^(-k)/(b_k)^n=c^(-n/m)*lim k^(n/m)*e^(-k)=0.

这样就否定了极点的可能性.