Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当[MN/BN]最小时

Answer 1

解题思路：通过三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范围，然后求解即可求得结论．

易证△AOM≌△CON，则AM=CN=x

设CN=x，经过点N作NE⊥AB

则四边形NEBC为矩形

∴NE=BC=1，BE=CN=x

则ME=（1-x）-x=1-2x（或2x-1）

∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²

BN²=BC²+CN²=1+x²

令2-4x+4x²=t（1+x²），整理

﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有实根

∴16-4（t-4）（t-2）≧0

解得：3-

5≤t≤3+

5

∴当 [MN/BN]取最小值时，

即t取最小值3-

5，x=

5−1

2

即CN=

5−1

2，

故答案为：

5−1

2

点评：

本题考点： 向量在几何中的应用．

考点点评： 本题考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，属于中档题．