Question

已知三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 ，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA 1 ⊥底面ABC，AB=2，AA 1

Answer 1

（1）取BC ₁的中点H，连接HE、HF，

则△BCC ₁中，HF ∥ CC ₁且HF=

1

2 CC ₁

又∵平行四边形AA ₁C ₁C中，AE ∥ CC ₁且AE=

1

2 CC ₁

∴AE ∥ HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，

∴AF ∥ HE，

∵AF⊄平面REC ₁，HE⊂平面REC ₁

∴AF ∥ 平面REC ₁．…（6分）

（2）等边△ABC中，高AF=

3

2 AB =

3 ，所以EH=AF=

3

由三棱柱ABC-A ₁B ₁C ₁是正三棱柱，得C ₁到平面AA ₁B ₁B的距离等于

3

∵Rt△A ₁C ₁E≌Rt△ABE，∴EC ₁=EB，得EH⊥BC ₁

可得S _△BE C 1 =

1

2 BC ₁•EH=

1

2 ×

4 2 + 2 2 ×

3 =

15 ，

而S _△ABE=

1

2 AB×BE=2

由等体积法得V _A-BEC1=V _C1-BEC，

∴

1

3 S _△BE C 1 ×d=

1

3 S _△ABE×

3 ，（d为点A到平面BEC ₁的距离）

即

1

3 ×

15 ×d=

1

3 ×2×

3 ，解之得d=

2

5

5

∴点A到平面BEC ₁的距离等于

2

5

5 ．…（12分）