Question

已知直线l：y=ax+1与双曲线c:3x^2-y^2=1相交于A、B两点当实数a为何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原

Answer 1

将y=ax+1代入方程3x²-y²=1,得

3x²-(ax+1)²=1,整理,

(a²-3)x²+2ax+2=0

设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1+x2=-2a/(a²-3),x1x2=2/(a²-3)

所以,y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a²·x1x2+a(x1+x2)+1=1

因为 以AB为直径的圆经过圆点

所以,OA⊥OB,故OA与OB的斜率的乘积为-1.

∴x1x2=-y1y2

即2/(a²-3)=-1,解得

a=±1.