Question

f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=f(1)=0,证(0,1)存在ξ,f'(ξ)+2f(ξ)=0

Answer 1

考察函数 F(x)=f(x)*e^(2x) ,

显然满足：在 [0,1] 上连续,在（0,1）内可导,且 F(0)=F(1)=0 ,

且 F '(x)=f '(x)*e^(2x)+2f(x)*e^(2x) .

由罗尔中值定理,存在 ξ∈（0,1） 使 F‘(ξ)=0 ,

即 f '(ξ)*e^(2ξ)+2f(ξ)*e^(2ξ)=0 ,

由于 e^(2ξ)>0 ,

所以 f '(ξ)+2f(ξ)=0 .