Question

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|

Answer 1

证：∵|z₁-

.

z2|=|1-z₁z₂|

∴|z₁-

.

z2|²=|1-z₁z₂|²．

∴（z₁-

.

z2）

.

(z1?

.

z2)=（1-z₁z₂）

.

(1?z1z2)．

∴（z₁-

.

z2）（

.

z1-z₂）=（1-z₁z₂）（1-

.

z1

.

z2）．

化简后得z₁

.

z1+z₂

.

z2=1+z₁z₂

.

z1

.

z2．

∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²?|z₂|²．

∴（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）=0．∴|z₁|²=1，或|z₂|²=1．

∴|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．