A = [ 1 1 -1
2 1 0
1 -1 0]
初等变换
（A,E) = [ 1 1 -1 1 0 0
2 1 0 0 1 0
1 -1 0 0 0 1 ]
1.将第2、3行 的 第1列 元素 变为 0
具体为第1行元素的 （-2）倍 加到 第2 行；
第1行元素的 （-1）倍 加到 第2 行 ；
（A,E) [ 1 1 -1 1 0 0
0 -1 2 -2 1 0
0 - 2 1 -1 0 1 ]
2 将第3行 的 第2列 元素 变为 0,化为行阶梯形矩阵
具体为第2行元素的 （-2）倍 加到 第3 行
[ 1 1 -1 1 0 0
0 -1 2 -2 1 0
0 - 2 1 -1 0 1 ]
[ 1 1 -1 1 0 0
0 -1 2 -2 1 0 = B
0 0 -3 3 -2 1 ]
3.将左边的矩阵化为单位阵E
[ 1 1 -1 [ 1 0 0
0 -1 2 → 0 1 0
0 0 -3 ] 0 0 1 ]
B = [ 1 1 -1 1 0 0
0 -1 2 -2 1 0
0 0 -3 3 -2 1 ]
首先第3行 除以 （-3）
[ 1 1 -1 1 0 0
0 -1 2 -2 1 0
0 0 1 -1 2/3 - 1/3 ]
再将 新的第3行 （-2）倍,1倍 分别 加到 第2行 、第1 行
[ 1 1 0 0 2/3 - 1/3
0 -1 0 0 -1/3 2/3
0 0 1 -1 2/3 - 1/3 ]
最后将第 2 行 的1倍 加到 第1行
[ 1 0 0 0 1/3 1/3
0 -1 0 0 -1/3 2/3
0 0 1 -1 2/3 - 1/3 ]
第 2 行 乘以 （-1）
[ 1 0 0 0 1/3 1/3
0 1 0 0 1/3 -2/3
0 0 1 -1 2/3 - 1/3 ]
4.（A,E） （ E,A-1 ）
A-1 = [ 0 1/3 1/3
0 1/3 -2/3
-1 2/3 - 1/3 ]