1.A(n+1)^2 *An+A(n+1) *An^2+A(n+1)^2-An^2=0
两边同除以A(n+1)²An²
1/An+1/A(n+1)+1/An²-1/A(n+1)²=0
[1/An+1/A(n+1)]{1+1/An-1/A(n+1)]=0
因各项均为正数,所以1/An+1/A(n+1)>0
于是1/A(n+1)-1/An=1
所以{1/An}是公差为1的等差数列
首项1/A1=1
(1) 1/An=1+n-1=n
An=1/n
(2) Bn=((n(n+1))/((n+3)^2))*An=(n+1)/(n+3)²
=(n+1)/(n²+6n+9)
=(n+1)/[(n+1)²+4(n+1)+4]
=1/[(n+1)+4/(n+1)+4]
≤1/{2√[(n+1)*4/(n+1)]+4}
=1/8
当n+1=4/(n+1)时等号成立,解得n=1
故最大项为B1=1/8
2.设每年偿还n万元
第1年末：a*(1+r)-n
第2年末：[a*(1+r)-n]*(1+r)-n=a(1+r)²-n(1+r)-n
第3年末：[a(1+r)²-n(1+r)-n](1+r)-n=a(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n
第4年末：[a(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n]*(1+r)-n=a(1+r)^4-n(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n
第5年末：[a(1+r)^4-n(1+r)^3-n(1+r)²-n(1+r)-n]*(1+r)-n=0
即a(1+r)^5=n*[1+(1+r)+(1+r)²+(1+r)^3+(1+r)^4]
=n*[(1+r)^5-1]/(1+r-1)
所以n=ar(1+r)^5/[(1+r)^5-1](万元)
即为所求