已知F 1 （-1，0），F 2 （1，0），坐标 - 知识问答

已知F 1 （-1，0），F 2 （1，0），坐标平面上一点P满足：△PF 1 F 2 的周长为6，记点P的轨迹为C 1

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（Ⅰ）依题意可知，△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故点P的轨迹为C₁为以F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故 b=
3 ，
故C₁的方程为：
x 2
4 +
y 2
3 =1 (x≠±2) ；C₂的方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），设直线AB的方程为：x=my+1， k MA + k MB =
y 0 - y 1
x 0 - x 1 +
y 0 - y 2
x 0 - x 2 =2 k M F 2 =
2 y 0
x 0 -1 ，…（6分）
故
( y 0 - y 1 )( x 0 -m y 2 -1)+( y 0 - y 2 )( x 0 -m y 1 -1)
( x 0 -m y 1 -1)( x 0 -m y 2 -1) =
2 y 0
x 0 -1 ，
故 -( y 1 + y 2 )( x 0 -1 ) 2 +m y 0 ( y 1 + y 2 )( x 0 -1)+2m y 1 y 2 ( x 0 -1)=2 m 2 y 0 y 1 y 2 ，…（8分）
由
x=my+1
y 2 =4x ，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x₀+1）（x₀-my₀-1）=0，…（11分）
因为直线AB不经过点M，故x₀-my₀-1≠0，故m=0或x₀+1=0，…（12分）
当m=0时，C₁上除点 (1，±
3
2 ) 外，均符合题意；…（13分）
当m≠0时，则当x₀=-1时，椭圆上存在两点 M(-1，
3
2 ) 和 M(-1，-
3
2 ) 都符合条件．…（14分）

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