Question

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．

Answer 1

解题思路：（1）本题的关键是要掌握三角形重心的概念，三角形重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；结合等高三角形的面积比等于底边的比，可得出S_△PGH=[2/3]S_△POH=[1/3]S_△POH，因此只需求出三角形POH的面积即可．

（2）根据（1）得出的函数的性质可求得S的最大值．

（3）本题要分三种情况：

①PG=GH，此时PD=HE，三角形PDO和OEH全等，OP=OH，此时P、H、A重合，因此PH=0，显然不合题意．

②PG=PH，PG=PH=x，PD=[2/3]x，可在直角三角形PHD中，用勾股定理求出x的值．

③PH=GH，由于HE是直角三角形斜边上的中线，因此HE=[1/2]OP=3，因此HG=PH=2．

（1）延长PG交OH于点D，

∵PG：GD=2：1，

∴S_△PGH=[2/3]S_△POH=[1/3]S_△POH

由勾股定理得OH=

OP2−PH2=

36−x2

∴y=[1/3]×[1/2]PH•OH=[1/6]x

36−x2（0＜x＜6）；

（2）∵y²=[1/36]x²（36-x²）（0＜x＜6），

令t=x²，则y²=[1/36]t（36-t）=-[1/36]t²+t（0＜t＜36），是关于t的二次函数，

当t=18时，y²取最小值为9，

此时y=3，x=3

2，即当PH=3

2时，△PGH有大面积3；

（3）延长HG交OP于点E，则HE=[1/2]OP=3，

∴HG=

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了三角形、圆和二次函数的相关知识，（1）题弄清三角形重心的定义和性质是解题的关键，（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要分类求解．