Question

（2009•韶关二模）已知x=0是函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，f^′（0）=0，得到关于a，b的一个方程，函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²，f^′（2）=2e²；得到一个关于a，b的一个方程，解方程组求出a，b即可；（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根，转化为求函数g（x）在区间（-2，m）上的单调性、极值、最值问题．

（I）f^′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x

由f^′（0）=0得b=-a∴f^′（x）=[x²+（a+2）x]e^x

又f^′（2）=2e²

∴[4+2（a+2）]e²=2e²

故a=-3

令f^′（x）=（x²-x）e^x≥0得x≤0或x≥1

令f^′（x）=（x²-x）e^x＜0得0＜x＜1

故：f（x）=（x²-3x+3）g^x，单调增区间是（-∞，o]，[1，+∞），单调减区间是（0，1）．

（Ⅱ）假设方程g（x）=

2

3(m−1)2在区间（-2，m）上存在实数根

设x₀是方程g(x)＝

2

3(m−1)2的实根，

x20− x0 ＝

2

3(m−1)2，

令h(x)＝x2−x−

2

3(m−1)2，从而问题转化为证明方程h(x)＝x2−x−

2

3(m−1)2＝0

在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数

因为h(−2)＝6−

2

3(m−1)2=−

2

3(m+2) (m−4) ，h(m)＝m(m−1)−

2

3(m−1)2＝

1

3(m+2)(m−1)，

所以

①当m＞4或-2＜m＜1时，h（2）-h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解

②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h(0)＝−

2

3(m−1)2 ＜0，

所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有两解

③当m=1时，h（x）=x²-x=0⇒x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；

当m=4时，h（x）=x²-x6=0⇒x=-2或x=3，

所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解，

综上所述，对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3(m−1)2在区间（-2，m）上均有实数根

且当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，求函数f（x）的解析式体现了方程的思想；方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，再求函数最值中，又用到了分类讨论的思想；属难题．