你这题用代数方法求解很难(估计没你说的通解),我写了些过程,但还没做出来.
先给你比较简单的解法：
5/48=10/96=15/144=20/192=……
1/x+1/y-1/z可以表述为：(a+b-c)/48=5/48
只要找出任意三个48的不同因数a、b、c,使得a+b-c=5即可
48的因数有48、24、16、12、8、6、4、3、2、1,满足a+b-c=5的有：
4+2-1=5 此时x=12,y=24,z=48 (注意a、b可以调换,即x、y可以调换,下同)
4+3-2=5 此时x=12,y=16,z=24
6+1-2=5 此时x=8,y=48,z=24
6+2-3=5 此时x=8,y=24,z=16
6+3-4=5 此时x=8,y=16,z=12
8+1-4=5 此时x=6,y=48,z=12
8+3-6=5 此时x=6,y=16,z=8
12+1-8=5 此时x=4,y=48,z=6
16+1-12=5 此时x=3,y=48,z=4
同理,1/x+1/y-1/z可以表述为：(a+b-c)/96=10/96
只要找出任意三个96的不同因数a、b、c,使得a+b-c=10即可
96的因数有96、48、32、24、16、12、8、6、4、3、2、1,满足a+b-c=10的有：
8+3-1=10 8+4-2=10 8+6-4=10 12+1-3=10 12+2-4=10
12+4-6=10 12+6-8=10 16+2-8=10 16+6-12=10 24+2-16=10
32+2-24=10 可以分别求出对应的x、y、z
同理,1/x+1/y-1/z可以表述为以下形式并分别求
(a+b-c)/144=15/144
(a+b-c)/192=20/144
……
以下是用代数方法做的一个分析,没写完：
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1/x+1/y-1/z=(yz+xz-xy)/(xyz)=5/48
考虑到x、y、z是三个各不相等的正整数,那么有(k是且必须是整数)：
xyz=48k 是偶数,可推出x、y、z中至少有1个偶数,xy、yz、xz中至少有2个偶数.
yz+xz-xy=5k
情形1、若k是奇数,则5k是奇数,那么yz、xz、xy中有1个奇数和2个偶数,x、y、z中有2个奇数和1个偶数.
显然此时x、y、z中的偶数是16,奇数是3m和n（假设k分解成两个奇数之积,k=mn）.
yz、xz、xy三个数是48m、3k、16n,这三个数欲使yz+xz-xy=5k的等式成立,有三种子情形：
1) 48m+3k-16n=5k 即24m-8n=k 由于k是奇数,等式不可能成立,舍去
2) 48m+16n-3k=5k 即6m+2n=k 由于k是奇数,等式不可能成立,舍去
3) 16n+3k-48m=5k 即8n-24m=k 由于k是奇数,等式不可能成立,舍去
所以,k不能是奇数.
情形2、k是偶数,则5k是偶数,那么yz、xz、xy全是偶数.
此时,5k是10的倍数,令k=2m (m是整数)
分析比较复杂,写不下去了……