已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数f(x)x在区间(1,+∞)上是(  )

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  • 解题思路:由函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值得出a的取值范围,进一步应用a的范围对

    f(x)

    x

    在区间(1,+∞)上的零点情况加以判断.

    ∵函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,

    ∴函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴应当位于区间(-∞,1)的左边,

    ∴有:a<1.令g(x)=

    f(x)

    x=x+[a/x]-2a,

    当a<0时,g(x)=x+[a/x]-2a在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g(1)=1-a>0,

    当a=0时,g(x)=x在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g(1)=1>0,

    当0<a<1时,g(x)=x+[a/x]-2a≥2

    x•

    a

    x-2a=2

    a-2a<0,

    ∴g(x)在区间(1,+∞)上无零点.

    故选C.

    点评:

    本题考点: 函数零点的判定定理;二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题考查二次函数在给定区间上的最值,同时考查了函数零点的判断.在本题中并没有应用零点存在性定理来判断.