Question

已知函数 f（x）=loga（1-ax2）（a＞0且a≠1）

Answer 1

解题思路：（1）a∈（0，1）时，令t=1-ax² ，显然函数g（t）=log_a t 是减函数．令t＞0，求得-[1/a]＜x＜[1/a]．再根据函数t的单调性得到 f（x）=log_a（1-ax²）的单调性．

（2）不等式即log_a（1-ax²）＞1=log_aa，分当a＞1时和当0＜a＜1时 两种情况，根据函数的单调性求得不等式的解集．

（1）∵0＜a＜1，令t=1-ax² ，显然函数g（t）=log_a t 是减函数．

令t＞0，求得-[1/a]＜x＜[1/a]．

在（-[1/a]，0）上，函数t是增函数，函数 f（x）=log_a（1-ax²）是减函数．

在（0，[1/a]）上，函数t是减函数，函数 f（x）=log_a（1-ax²）是增函数．

故f（x）=log_a（1-ax²）的增区间为 （0，[1/a]），减区间为（-[1/a]，0）．

（2）不等式f（x）＞1，即 log_a（1-ax²）＞1=log_aa，

∴当a＞1时，可得1-ax² ＞a，即ax² +a-1＜0，即 ax²＜1-a＜0，x无解．

当0＜a＜1时，可得 0＜1-ax² ＜a，解得 [1−a/a]＜x²＜[1/a]，

故不等式的解集为{x|

1−a

a＜x＜[1/a]，或-[1/a]＜x＜

1−a

a}．

点评：

本题考点： 对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查复合函数的单调性，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．