Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 1 ：（x+1） 2 +y 2 =1，圆C 2 ：（x-3） 2 +（y-4）

Answer 1

（1）设过点C ₁（-1，0）的直线l方程：y=k（x+1），化成一般式kx-y+k=0

∵直线l被圆C ₂截得的弦长为

6

5 ，

∴点C ₂（3，4）到直线l的距离为d=

|3k-4+k|

k 2 +1 =

1-(

3

5 ) 2 ，

解之得k=

4

3 或

3

4

由此可得直线l的方程为：4x-3y+4=0或3x-4y+3=0．

（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC ₁=CC ₂，

即

(x+1) 2 + y 2 =

(x-3) 2 + (y-4) 2 ，

化简整理，得x+y-3=0，

即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．

②设圆C过定点，设C（m，3-m），

则动圆C的半径为

1+C C 1 2 =

1+( m+1) 2 +(3-m ) 2 ，

于是动圆C的方程为（x-m） ²+（y-3+m） ²=1+（m+1） ²+（3-m） ²，

整理，得x ²+y ²-6y-2-2m（x-y+1）=0，

由

x-y+1=0

x 2 + y 2 -6y-2=0 得

x=1+

3

2

2

y=2+

3

2

2 或

x=1-

3

2

2

y=2-

3

2

2

所以动圆C经过定点，其坐标为 (1-

3

2

2 ，2-

3

2

2 ) ， (1+

3

2

2 ，2+

3

2

2 ) ．