Question

已知抛物线y=x2+kx+2k-4，若抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C（A为定点且点A在B

Answer 1

解题思路：首先判断是否存在第四个交点，由题干条件|x₁|＜|x₂|或者|x₁|＜|x₂|，显然抛物线的对称轴不是y轴，即C点不可能是抛物线的顶点（因为点C不在抛物线的对称轴上），所以解题的关键就转化为如何求k的值，可以从△ABC的面积入手．先得到k的取值范围，进而通过△ABC的面积求出k的值．

令y=0，有x²+kx+2k-4=0，

此一元二次方程根的判别式

△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，

∵无论k为什么实数，（k-4）²≥0，

方程x²+kx+2k-4=0都有解，

即抛物线总与x轴有交点．

由求根公式得x=

−k±|k−4|

2，

当k≥4时，x=

−k±(k−4)

2，x₁=

−k+(k−4)

2=-2，x₂=

−k−(k−4)

2=-k+2；

当k＜4时，x=

−k±(4−k)

2，x₁=

−k+(4−k)

2=-k+2，x₂=

−k−(4−k)

2=-2．

即抛物线与x轴的交点分别为（-2，0）和（-k+2，0），

故点A（-2，0）是x轴上的定点．

当-2＜-k+2，即k＜4时，A点坐标为（-2，0），B为（-k+2，0）．

即x₁=-2，x₂=-k+2．

由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．

根据S_△ABC=15，得[1/2]AB•OC=15．

AB=-k+2-（-2）=4-k，

OC=|2k-4|=4-2k，

∴[1/2]（4-k）（4-2k）=15，

化简整理得k²-6k-7=0，

解得k=7（舍去）或k=-1．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 该题的难度较大，主要涉及了：二次函数与方程的关系以及不等式的应用等综合知识，k的取值范围的确定是本题的难点所在．