Question

已知{an}为单调递增的等比数列，且a2+a5=18，a3•a4=32，{bn}是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项

Answer 1

解题思路：（1）{a_n}为单调递增的等比数列，说明q＞1，又根据a₃•a₄=a₂•a₅=32，a₂+a₅=18，列出关于a₂，a₅的方程组，解出a₂，a₅，最后根据等比数列的性质，求出{a_n}

（2）由题意{b_n}是首项为2，公差为d的等差数列，写出S_n的表达式，代入

S

n

≥4+d•lo

g

2

a

2

n

，整理得d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，按照当且仅当2≤n≤4，n∈N^*，列出不等式组，求出d的取值范围．

（1）因为{a_n}为等比数列，所以a₃•a₄=a₂•a₅=32

所以

a2+a5=18

a2•a5=32

所以a₂，a₅为方程 x²-18x+32=0的两根；

又因为{a_n}为递增的等比数列，所以 a2=2，a5=16，q3=8，

从而q=2，

所以an=a2•qn-2=2•2n-2=2n-1；

（2）由题意可知：b_n=2+（n-1）d，Sn=2n+

(n-1)•n

2d，

由已知可得：2n+

(n-1)•n

2d≥4+(2n-2)d，

所以d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，

当且仅当2≤n≤4，且n∈N^*时，上式成立，

设f（n）=d•n²+（4-5d）•n-8+4d，则d<0，

所以

f(1)<0

f(2)≥0

f(4)≥0

f(5)<0⇒

d≤0

d所以d的取值范围为（-∞，-3）．

点评：

本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，整系数二次函数的性质，属于中档题．