解题思路:(1)根据题意得∠DCE=30°,根据直角三角形的性质得CD=2DE,即可得出DE=DA;
(2)先判断,再根据题意得出∠DCE=∠DEA,∠CEA=∠ADE,则△ACE∽△AED.
(3)过点A作AF⊥BD,交BD延长线于点F.则∠AFD=∠CED=90°可证得△CED∽△AFD,则[CE/AF]=[CD/AD]=[2AD/AD]=2,从而得出
S
△BEC
S
△AEB
.
(1)证明:∵∠BDC=60°,CE⊥BD,
∴∠DCE=30°,
∴CD=2DE(1分)
∵CD=2DA,
∴DE=DA.(2分)
(2)有,△ACE∽△AED(或△ABC∽△BDC)
证明:∵DE=DA,∠BDC=60°,
∴∠DEA=∠DAE=30°,∠ADE=120°
∵∠CEA=∠CED+∠AED=120°
∴∠DCE=∠DEA=30°,∠CEA=∠ADE=120°
∴△ACE∽△AED.(4分)
注:△ABC∽△BDC的证明正确同样给(2分).此问不设(1分)点.
(3)过点A作AF⊥BD,交BD延长线于点F.
∴∠AFD=∠CED=90°,
又∵∠CDE=∠ADF,
∴△CED∽△AFD,
∴[CE/AF]=[CD/AD]=[2AD/AD]=2,(5分)
∴
S△BEC
S△AEB=
1
2BE• CE
1
2BE•AF=[CE/AF]=2:1.(6分)
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
考点点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,是基础知识要熟练掌握.