Question

求x/sinx在x=0处的带佩亚诺余项的泰勒公式,展开到x^4即可

Answer 1

可以考虑x/sinx求4阶导数,令x趋于0可求出系数

现在用级数的除法：显然f(x)=x/sinx为偶函数,故泰勒公式中只有偶次幂

设f(x)=x/sinx=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))

那么x=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))(x-x^3/6+x^5/5!+o(x^6))

=a0x+(a2-a0/6)x^3+(a4-a2/6+a0/5!)x^5+o(x^6)

解得：a0=1,a2=1/6,a4=1/32-1/36=1/288

所以：f(x)=x/sinx=1+x^2/6+x^4/288+o(x^5))