Question

设函数f(x)=x2+b ln(x+1) ,其中b≠0.是否存在最小的正整数N,使得当n>=N时,不等式ln[(n+1)

Answer 1

ln[(n+1)/n]>(n-1)/n3中的‘n3’是啥意思?

n的三次方应写作n^3

令1/n=t

那么

左边=ln（t+1）

右边=t^2-t^3

令g（t）=ln（t+1）-（t^2-t^3）,t>0

所以g'（t）=1/(t+1)-2t+3t^2

所以g'（t）=[1-2t(t+1)+3t^2(t+1)]/(t+1)

所以g'（t）=[(t-1)^2+3t^3]/(t+1)>0

所以g（t）单调递增

所以g（t）>g(0)=0

所以当t>0时ln（t+1）-（t^2-t^3）>0恒成立

即当n∈N+时ln[(n+1)/n]>(n-1)/n^3恒成立

所以存在最小的正整数N=1使命题成立