Question

元件寿命服从均值为100小时的指数分布,随机地取16只,他们寿命相互独立,这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率?

Answer 1

令原件寿命为x,x服从参数为λ的指数分布.则x的密度函数如下：

由密度函数可知x的期望Ex＝1/λ 方差Dx＝1/(λ^2)

现在已知Ex=100,则λ＝1/100.所以Dx＝10000

Xi是从指数分布整体随机抽样,所以Xi也服从λ＝1/100的指数分布,因此E(Xi)=100,D(Xi)=10000.

现在要求P{ΣXi>1920}=?

令Y＝ΣXi,可以算出Y～Gamma(2n,n/λ) 此问题中n＝16 λ＝1/100.

P{ΣXi>1920}=P{Y>1920}=∫Gamma(2n,n/λ) dt t的积分域是(1920,+∞)

P.S.计算Y的分布可通过计算矩母函数来求得.