Question

过点A(a,0)作圆:x^2+y^2=R^2(a>R>0)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.

Answer 1

设中点B（x,y)

连接OB,由垂径定理可知OB⊥AB,再由勾股定理可得OA^2+AB^2=a^2

于是有x^2+y^2+(x-a)^2+y^2=a^2

2x^2+2y^2-2ax=0

配成标准式：(x-a/2)^2+y^2=(a^2)/4

其中x的取值范围为[0,R^2/a）

其实这很好理解,还是由垂径定理,所有这些中点都有角OBA=90°

也就是说中点的轨迹是以OA为直径的圆,但是因为是割线的中点,所以不是完整的圆而是有取值范围的