Question

已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原

Answer 1

解题思路：求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出直线的斜率，推出AB的斜率，设出AB的方程，联立AB与圆的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

圆C：x²+y²-2x+4y-4=0的圆心坐标（1，-2），

因为在两点A、B关于直线y=kx-1对称，所以直线经过圆的圆心，

所以-2=k-1，k=-1．直线AB的斜率为：1；

设直线AB的方程为x-y+b=0；对称轴方程为：x+y+1=0，

x−y+b＝0

x2+y2−2x+4y−4＝0可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，

x₁x₂=

b2+4b−4

2，x₁+x₂=-b-1．

以AB为直径的圆经过原点．

x₁x₂+y₁y₂=0，2×

b2+4b−4

2+b²+b（-b-1）+b²=0，解得b=1或b=-4

所以所求直线AB的方程为x-y+1=0或x-y-4=0．

点评：

本题考点： 圆方程的综合应用；关于点、直线对称的圆的方程．

考点点评： 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想与计算能力．