导数的应用之一：函数问题
（3课时）
导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支,是解决实际问题的重要的数学工具.如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题,均可以导数作为研究的工具,根据导数的意义进行求解和证明.关于导数的应用,我们将分两个讲座研究,分别是函数问题和切线与速度的问题.
一、利用导数研究函数的单调性
若函数 在某个区间内可导,则当 时,在此区间上为单调增函数；而当 时,在此区间上为单调减函数.利用上述性质,可以研究函数的单调性.
注意点：
（1）同一函数的两个单调区间不能并起来
（2）求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.
二、利用导数求函数的最值
求闭区间 上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间 内的驻点,然后计算函数在驻点与端点处的值,并将它们进行比较,其中最大的一个即为最大值,最小的一个即为最小值,这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点.
如果函数不在闭区间 上可导,那么求函数的最大（小）值时,不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
一般地,求在闭区间 上连续,在开区间 内可导的函数 在闭区间 上最值的步骤为：
⑴求 在区间 内的根,即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点）,求出这些导数为0的点的函数值；
⑵求 在闭区间 两端点处的函数值,即 与 ；
⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较,其中最大的一个即为最大值,最小的一个即为最小值.
一、范例分析
例1．设函数 内为奇函数且可导,证明：
内的偶函数.
证明：对任意
由于 为奇函数,,
于是 ,
因此 即 内的偶函数.
例2．已知函数 处取得极值,并且它
的图象与直线 在点（1,0）处相切,求a、b、c的值.
由曲线 过（1,0）得 ① 又 +b
则 ②
③
解①②③得 .
例3．已知 有极大值 和极小值 .
（1）求 + 的值；
（2）设曲线 的极值点为A、B,求证：线段AB的中点在 上.
（1） ,由于 有极大值和极小值,、 的两根,
则
（2）设
知AB的中点在
上.
例4．设函数 的驻点是0和4.
（1）求常数k的值；
（2）确定函数 的单调区间；
（3）求 的极值.
（1） ,由于驻点是0和4,∴0和4是方程 的两根,
可求得
（2）由（1）可知 ,∴当 为增函
数,为减函数； （3）由（2）可判断极大值为 极小值为
例5．求证：.
证明：（1）当 时,=1,=1,命题成立；
（2）当 >0时,令 ,则 >0
在（0,）上为增函数
>0,> 即 >0
> ；
（3）当
综合以上情况,.
例6．已知函数 问是否存在实数a、b使f(x)在[－1,2]上取得最大值3,最小值－29,若存在,求出a、b的值.并指出函数的单调区间 .若不存在,请说明理由 .
（1）a>0时,如下表
x (－1,0) 0 （0,2）
+ 0 —
最大值3
∴当x=0时,取得最大值,∴b=3；
（2）a0),贷款的利率为4.8％,又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x (0,0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)；(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益?
（1）由题意,存款量g(x)=Kx2,银行应支付的利息
h(x)=x•g(x)= Kx3
（2）设银行可获收益为y,则
y=0.048•Kx2–Kx3
y’=K•0.096x–3 Kx2 令y’ =0 即K×0.096x–3 Kx2=0
解得x=0 或x=0.032
又当x (0,0.032)时,y’>0,x (0.032,0.048)时,y’b>0)的长轴为AB,以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD,求此等腰梯形面积的最大值.
答案：.
23．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架,如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m,那么底面的底边,腰及容器的高为多少时容器的容积最大?（参考数据2.662=7.0756,3.342=11.1556）
设容器底面等腰三角形的底边长为2xm,则腰长为 （1分）高为
（2分）设容器的容积为Vm3,底面等腰三角形底边
上的高
令
当 有最大值.
这时容器的底面等腰三角形的底边长为6m,腰长为4m,容器的高为5.6m.