Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，E是BC的中点，AE交BC于点D，DF⊥AB于F，F为垂足，连接CF．

Answer 1

解题思路：（1）易得∠CAE=∠BAE，∠ACB=∠DFC=90°，再加上公共边，可证得△CDA≌△FDA，即证CD=DF．

（2）利用cos∠CAB的值可求得BC长，设出CD=DF=x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到CD的长．

（1）等腰三角形．

∵E是BC的中点，

∴∠CAE=∠BAE．

∵AB是半圆O的直径，DF⊥AB于F，

∴∠ACB=∠DFA=90．

又∵AD=AD，

∴△CDA≌△FDA．

∴CD=DF．

（2）∵AC=8，cos∠CAB=[4/5]，

∴BC=6．

根据勾股定理得：AB=10，

∵△CDA≌△FDA．

∴AC=AF=8，

∴FB=2，

设CD=DF=x，则BD=BC-CD=6-x，

根据勾股定理得：x²+2²=（6-x）²，

解得：x=[8/3]

∴CD=[8/3]．

点评：

本题考点： 等腰三角形的判定；圆周角定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的三角函数，以及角平分线所截得的线段的对于比等知识点．