Question

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP

Answer 1

解题思路：（1）已知BE=BC，采用面积分割法，S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC得出三角形高的数量关系．

（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．

（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r₁r₂…r_n为高表示面积，列出面积的等式，可求证r₁+r₂+…+r_n为定值．

（1）过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，

∵BE=BC=3，∠EBH=45°，

∴EH=

3

2

2，

∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，

∴[1/2]BE×FN+[1/2]BC×FM=[1/2]BC×EH，

∵BE=BC，

∴FN+FM=EH=

3

2

2．

（2）连接PA，PB，PC，

∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，

∴[1/2]BC•r₁+[1/2]AC•r₂+[1/2]AB•r₃=[1/2]BC•h，

∵BC=AC=AB，

∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）设n边形的边心距为r，则：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．

点评：

本题考点： 等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质．

考点点评： 本题主要利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用．