Question

已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ且α，β∈(−π2，π2)，则tan[α+β/2]

Answer 1

解题思路：由题意可得tanα+tanβ=-4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4，求得tan（α+β）=43，tanα＜0，tanβ＜0．再由α，β∈(−π2，π2)，可得α+β2∈(−π2，0)，再由 43=tan（α+β）=2tanα+β21−tan2α+β2，解得tanα+β2 的值．

∵已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ，∴tanα+tanβ=-4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4．

∴tan（α+β）=[tanα+ tanβ /1−tanα• tanβ ]=[−4a/−3a]=[4/3]，∴tanα＜0，tanβ＜0．

再由α，β∈(−

π

2，

π

2)，可得α，β∈(−

π

2，0)，故[α+β/2]∈(−

π

2，0)．

再由 [4/3]=tan（α+β）=

2tan

α+β

2

1−tan2

α+β

2，解得tan[α+β/2]=-2，或 tan[α+β/2]=[1/2] （舍去），

故选B．

点评：

本题考点： 两角和与差的正切函数；二倍角的正切．

考点点评： 本题主要考查两角和差的正切公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．