Question

已知正数a，b，c满足a+b+c=1证明 a3+b3+c3≥a2+b2+c23．

Answer 1

解题思路：由已知条件可得，要证原不等式成立，只要证 3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0 即可，

即 2（a³+b³+c³）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，

即 2（a³+b³+c³）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，即 a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，

即 a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，

故只要证 （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0 ①即可，而①显然成立．

证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 a3+b3+c3≥a2+b2+c23，只要证 3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0，只要证 2（a3+b3+c3 ）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，只要证2...

点评：

本题考点： 综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找是不等式成立的充分条件．