已知点M(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P(x,y)为线段MN的中点.

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  • 解题思路:(1)由线段的中点坐标公式,算出点M(x0,y0)即M(2x-4,2y),将M坐标代入圆x2+y2=4并化简,即可得到点P(x,y)的轨迹方程;

    (2)根据P的轨迹是以C(2,0)为圆心、半径等于1的圆,算出C到已知直线的距离,再分别加上、减去半径,即可得到点P到已知直线距离的最大值和最小值.

    (1)根据线段中点坐标公式,得

    2x=x0+4

    2y=y0

    解得x0=2x-4,y0=2y,

    ∵点M(x0,y0)即M(2x-4,2y)在圆x2+y2=4上运动,

    ∴M坐标代入,得(2x-4)2+4y2=4,

    化简得(x-2)+y2=1,即为点P(x,y)的轨迹方程;

    (2)∵点P(x,y)的轨迹是以C(2,0)为圆心,半径等于1的圆

    ∴求得C到直线3x+4y-86=0的距离d=

    |3×2+0−86|

    32+42=16

    可得点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值为16+1=17,最小值为16-1=15.

    点评:

    本题考点: 直线和圆的方程的应用;轨迹方程.

    考点点评: 本题给出动点的轨迹,求其方程并求点到直线的距离的最值.着重考查了点到直线的距离公式、圆的方程、线段的中点坐标公式和动点轨迹的求法等知识,属于中档题.