Question

在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥A

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,

∴∠EGF=90°,△ABC～△EFG,

由于AB=2EF,

∴BC=2FG,

连接AF,

∵FG∥BC,FG=1/2BC,

在▱ABCD中,M是线段AD的中点,

∴AM∥BC,且AM=1/2BC,

∴FG∥AM且FG=AM,

∴四边形AFGM为平行四边形,

∴GM∥FA,

∵FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,

∴GM∥平面ABFE．

（Ⅱ）由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,

取AB的中点H,连接CH,

∵AC=BC,

∴CH⊥AB

则CH⊥平面ABFE,

过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,

由线面垂直的性质可得CR⊥BF,

∴∠HRC为二面角的平面角,

由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,

在直角梯形ABFE中,连接FH,

则FH⊥AB,

又AB=2倍根号2 ,

∴HF=AE=1,HR=

S△BHE /( BE /2) =根号2/根号3=根号6/3,

由于CH=1/2AB=根号2 ,

∴在直角三角形CHR中,tan∠HRC=根号2/ 根号6/3 =根号3

因此二面角A-BF-C的大小为60°