解题思路：（Ⅰ）求导函数得到f′（x）的最小值，故有
−
3
4
si
n
2
θ＝−
3
4
，进而得到导函数的解析式，故函数的极值可求出，根据极值的正负即可判断出函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极小值，由于极小值大于零，以及θ∈（0，π），即可解得θ的取值范围．
（I）f'（x）=12x2-6xsinθ，
当x＝
sinθ
4时，f'（x）有最小值为f′(x)＝−
3
4sin2θ，
所以−
3
4sin2θ＝−
3
4，即sin2θ=1，
因为θ∈（0，π），所以sinθ=1，
所以f'（x）=12x2-6x，
所以f（x）在(0，
1
2)上是减函数，在(−∞，0)，(
1
2，+∞)上是增函数，
而f(0)＝
1
32＞0，f(
1
2)＝−
7
32＜0，
故函数f（x）的零点个数有3个；
（Ⅱ）f'（x）=12x2-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x1＝0，x2＝
sinθ
2，
由θ∈（0，π）知sinθ＞0，根据（I），当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 (0，
sinθ
2) [sinθ/2] (
sinθ
2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗因此，函数f（x）在x＝
sinθ
2处取得极小值f(
sinθ
2)＝−
1
4sin3θ+
1
32，
要使f(
sinθ
2)＞0，必有−
1
4sin3θ+
1
32＞0
整理得0＜sinθ＜
1
2，又θ∈（0，π），
解得θ∈(0，
π
6)∪(
5π
6，π)．
所以θ的取值范围是θ∈(0，
π
6)∪(
5π
6，π)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和根的存在性定理，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．