1 解不等式(x^3-3x^3+2x)(x-2)(1-x^2)(x^3-1)小于等于0

1个回答

  • (1)

    (x^3-3x^2+2x)(x-2)(1-x^2)(x^3-1)≤0

    x^3-3x^2+2x = x(x-2)(x-1)

    1-x^2 = -(x-1)(x+1)

    x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)

    原式 = -x(x-2)(x-1)(x-1)(x+1)(x-1)(x^2+x+1)≤0

    即x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)≥0

    x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)有四个零点:

    -1、0、1、2

    x^2+x+1≥0

    则画图可知

    当x∈[-∞,-1]∪[0,1]∪[2,+∞]时,x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)≥0

    (2)

    |x-1|+|x-2|<2

    当x>2时:

    原式 = x-1+x-2 = 2x-3<0

    解得 x<3/2

    当x∈[1,2]时:

    原式 = x-1-x+2 = 1<2恒成立

    当x<1时:

    原式 = 1-x+2-x = 3-2x<2

    解得 x>1/2

    综上:

    x∈[1/2,3/2]

    (3)

    原式=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c-3=b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b-3①

    因为:b/a+a/b≥2,c/a+a/c≥2,b/c+c/b≥2,所以①≥3

    又abc不全相等,故上面三个≥中至少有一个取不到等号

    故原式>3

    (4)

    (b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)≥abc

    ∵b^2c^2+c^2a^2 ≥ 2abc^2

    同理 c^2a^2+a^2b^2 ≥ 2bca^2

    b^2c^2+a^2b^2 ≥ 2acb^2

    上述三式相加:

    2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) ≥ 2abc(a+b+c)

    即(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)≥abc

    得证