(1)
(x^3-3x^2+2x)(x-2)(1-x^2)(x^3-1)≤0
x^3-3x^2+2x = x(x-2)(x-1)
1-x^2 = -(x-1)(x+1)
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
原式 = -x(x-2)(x-1)(x-1)(x+1)(x-1)(x^2+x+1)≤0
即x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)≥0
x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)有四个零点:
-1、0、1、2
x^2+x+1≥0
则画图可知
当x∈[-∞,-1]∪[0,1]∪[2,+∞]时,x(x-2)(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)≥0
(2)
|x-1|+|x-2|<2
当x>2时:
原式 = x-1+x-2 = 2x-3<0
解得 x<3/2
当x∈[1,2]时:
原式 = x-1-x+2 = 1<2恒成立
当x<1时:
原式 = 1-x+2-x = 3-2x<2
解得 x>1/2
综上:
x∈[1/2,3/2]
(3)
原式=(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c-3=b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b-3①
因为:b/a+a/b≥2,c/a+a/c≥2,b/c+c/b≥2,所以①≥3
又abc不全相等,故上面三个≥中至少有一个取不到等号
故原式>3
(4)
(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)≥abc
∵b^2c^2+c^2a^2 ≥ 2abc^2
同理 c^2a^2+a^2b^2 ≥ 2bca^2
b^2c^2+a^2b^2 ≥ 2acb^2
上述三式相加:
2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2) ≥ 2abc(a+b+c)
即(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)≥abc
得证