解题思路:(1)利用直线的解析式求得点A和点B的坐标,然后求得点C的坐标,根据CD平行于x轴,得到点D的纵坐标与点C的纵坐标相同,然后代入直线的解析式即可求得点D的坐标,最后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;
(2)设出点P的横坐标,根据点P在直线上,表示出其纵坐标,根据PE平行于y轴表示出点E的坐标,从而得到有关点P的横坐标的二次函数,求其最大值即可;
(3)设存在点M,然后设出点M的坐标,利用勾股定理将AD、DM、AM表示出来,利用AD2+DM2=AM2列出方程求得点M的横坐标后即可求得其坐标.
(1)∵一次函数y=x-1图象交x轴于点A,交y轴于点B,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为:(0,-1),
∵BC=2BO,
∴点C的坐标为(0,-3),
∵CD∥x轴,
∴点D的纵坐标等于点C的纵坐标,为-3,
∵点D在直线y=x-1上,
∴x-1=-3
解得:x=-2,
∴点D的坐标为(-2,-3)
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵经过A、C、D三点,
∴
a+b+c=0
c=−3
4a−2b+c=−3
解得:a=1,b=2,c=-3,
∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.
(2)∵点P在直线y=x-1上,
∴设点P的坐标为(x,x-1),
∵过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,
∴点E的坐标为(x,x2+2x-3),
∴PE=x-1-(x2+2x-3)=-x2-x+2=-(x-[1/2])2+2[1/4],
故线段PE的最大值为2[1/4];
(3)设存在抛物线上的点M,使得AD2+DM2=AM2,
设点M的坐标为(a,a2+2a-3),
∵点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(-2,-3)
∴AD2=[1-(-2)]2+32=18
如图,作DF⊥x轴与点F,MG⊥x轴于点G,
∴AM2=AG2+MG2=(1-a)2-(a2+2a-3)2,
DM2=DH2+MH2=(a+2)2-(a2+2a-3+3)2,
∵AD2+DM2=AM2,
∴(1-a)2-(a2+2a-3)2=(a+2)2-(a2+2a-3+3)2+18
解得:a=-1或-2,
当a=-1时,a2+2a-3=-4,
∴此时点M的坐标为(-1,-4)
当a=-2时,a2+2a-3=-3,
此时点M的坐标与点D的坐标相同,
故点M的坐标为:(-1,-4).
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题考查了二次函数的综合知识,其中还考查了勾股定理及待定系数法确定二次函数的解析式等知识,能用点的坐标表示出线段的长是解决本题的关键,此类题目在中考中经常出现.