如图,一次函数y=x-1图象交x轴于点A,交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且BC=2BO,过A,C两点的抛物线交直线

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  • 解题思路:(1)利用直线的解析式求得点A和点B的坐标,然后求得点C的坐标,根据CD平行于x轴,得到点D的纵坐标与点C的纵坐标相同,然后代入直线的解析式即可求得点D的坐标,最后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;

    (2)设出点P的横坐标,根据点P在直线上,表示出其纵坐标,根据PE平行于y轴表示出点E的坐标,从而得到有关点P的横坐标的二次函数,求其最大值即可;

    (3)设存在点M,然后设出点M的坐标,利用勾股定理将AD、DM、AM表示出来,利用AD2+DM2=AM2列出方程求得点M的横坐标后即可求得其坐标.

    (1)∵一次函数y=x-1图象交x轴于点A,交y轴于点B,

    ∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为:(0,-1),

    ∵BC=2BO,

    ∴点C的坐标为(0,-3),

    ∵CD∥x轴,

    ∴点D的纵坐标等于点C的纵坐标,为-3,

    ∵点D在直线y=x-1上,

    ∴x-1=-3

    解得:x=-2,

    ∴点D的坐标为(-2,-3)

    设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

    ∵经过A、C、D三点,

    a+b+c=0

    c=−3

    4a−2b+c=−3

    解得:a=1,b=2,c=-3,

    ∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.

    (2)∵点P在直线y=x-1上,

    ∴设点P的坐标为(x,x-1),

    ∵过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,

    ∴点E的坐标为(x,x2+2x-3),

    ∴PE=x-1-(x2+2x-3)=-x2-x+2=-(x-[1/2])2+2[1/4],

    故线段PE的最大值为2[1/4];

    (3)设存在抛物线上的点M,使得AD2+DM2=AM2

    设点M的坐标为(a,a2+2a-3),

    ∵点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(-2,-3)

    ∴AD2=[1-(-2)]2+32=18

    如图,作DF⊥x轴与点F,MG⊥x轴于点G,

    ∴AM2=AG2+MG2=(1-a)2-(a2+2a-3)2

    DM2=DH2+MH2=(a+2)2-(a2+2a-3+3)2

    ∵AD2+DM2=AM2

    ∴(1-a)2-(a2+2a-3)2=(a+2)2-(a2+2a-3+3)2+18

    解得:a=-1或-2,

    当a=-1时,a2+2a-3=-4,

    ∴此时点M的坐标为(-1,-4)

    当a=-2时,a2+2a-3=-3,

    此时点M的坐标与点D的坐标相同,

    故点M的坐标为:(-1,-4).

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了二次函数的综合知识,其中还考查了勾股定理及待定系数法确定二次函数的解析式等知识,能用点的坐标表示出线段的长是解决本题的关键,此类题目在中考中经常出现.