Question

如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF

Answer 1

（本小题满分12分）

（1）设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a-c，

而M•m＝

3

4a2，所以有a2−c2＝

3

4a2，

即a²=4c²，a=2c，

因此椭圆的离心率为e＝

c

a＝

1

2．（4分）

（2）由（1）可知a=2c，b＝

a2−c2＝

3c，

椭圆的方程为

x2

4c2+

y2

3c2＝1．

根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，

设直线AB的方程为y=k（x+c），

并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则由

y＝k(x+c)

x2

4c2+

y2

3c2＝1消去y并整理得（4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0

从而有x1+x2＝−

8ck2

4k2+3，y1